Three essays on stochastic string models for the term structure of interest rates.

Resumen

La Estructura Temporal de los Tipos de Interés (ETTI), es decir, la relación funcional existente entre el rendimiento de los bonos cupón cero y su vencimiento, es uno de los conceptos más relevantes en el campo de las finanzas. De su dinámica dependen aspectos tan importantes como el propio precio de los bonos cupón cero (y, por tanto, el de los bonos con cupón y las carteras de bonos); el de sus derivados, como los futuros o las opciones sobre bonos; la cobertura de dichos derivados o la inmunización de carteras de bonos. La tesis, titulada Three Essays on Stochastic String Models for the Term Structure of Interest Rates, está dedicada a desarrollar un marco de trabajo para la dinámica en tiempo continuo de la ETTI, presentado en Santa-Clara y Sornette (2001) y conocido como modelización de cuerda estocástica (stochastic string modelization). A lo largo de los tres capítulos de la tesis, se desarrolla sustancialmente lo realizado en Santa-Clara y Sornette (2001), configurándose este tipo de modelización como una teoría que explica y generaliza, de forma coherente, gran parte de los tópicos relacionados con la modelización en tiempo continuo de la ETTI. En el primer capítulo de la tesis se reformula el modelo de Santa-Clara y Sornette con un mayor rigor matemático, basándose en el cálculo estocástico con semimartingalas continuas. Esta reformulación potencia el modelo original permitiendo clarificar la naturaleza del proceso de cuerda estocástica y presentar nuevos resultados. En el segundo capítulo se presenta el modelo de cuerda estocástica como una teoría unificadora de distintos aspectos relacionados con la ETTI como son los modelos HJM multifactoriales e infinito-dimensionales, el análisis de componentes principales de la curva forward, el problema de la consistencia con familias paramétricas de curvas forward y la valoración de opciones sobre bonos. El tercer capítulo se dedica a la valoración de caps y swaptions. Para ello se proponen dos aproximaciones distintas: un modelo de cuerda estocástica gaussiano y un modelo de mercado de cuerda estocástica. Adicionalmente se estudia y se propone una solución a dos problemas relacionados con el estudio de caps y swaptions: el problema de su valoración relativa y el problema de la equivalencia observacional. A lo largo de la tesis se generalizan o se amplían importantes modelos como los presentados en Santa-Clara y Sornette (2001); Heath, Jarrow y Morton (1992); Björk y Christensen (1999); Brace, Gatarek y Musiela (1997) y Longstaff, Santa-Clara y Schwartz (2001), entre otros. Además, se presenta un elevado número de nuevos resultados, entre los que podemos destacar: la dinámica del tipo de interés a corto plazo, una EDP para el precio de un bono, una expresión analítica para el precio de una opción call, una condición de ortogonalidad para las volatilidades HJM, un teorema para la valoración de opciones o expresiones cerradas para la valoración de caps y swaptions.