Algunos módulos en espacios de Banach con aplicaciones en teoría métrica del punto fijo

Resumen

Aunque el primer teorema métrico del punto fijo fue dado por S.Banach en 1922, podemos decir que la Teoría Métrica del Punto Fijo se inicia en 1965 cuando F.E. Browder, D.Göhde y W.A. Kirk prueban la existencia de puntos fijos para aplicaciones no expansivas en espacios de Banach que verifican ciertas propiedades geométricas. Estos resultados establecen un puente, ... hasta entonces inexistentes, entre la Teoría Geométrica de los Espacios de Banach, tema enmarcado habitualmente en Análisis Funcional Lineal, y la Teoría del Punto Fijo, tema correspondiente al Análisis Funcional No Lineal. A partir de este momento muchos investigadores se preocupan por explotar esta conexión, esencialmente considerando otras propiedades geométricas de los espacios de Banach (convexidad uniforme, suavidad uniforme, condiciones de tipo Opial, casi convexidad uniforme, casi suavidad uniforme, etc.) que puedan ser aplicadas para probar la existencia de puntos fijos para distintos tipos de operadores no lineales. Asociados a dichas propiedades se definen unos módulos y coeficientes geométricos que las caracterizan y dan una idea cuantitativa de su verificación. Los módulos más conocidos son probablemente el módulo de Clarkson de convexidad uniforme y el módulo de suavidad uniforme. Estos, y otros muchos referentes a otras propiedades geométricas, han sido muy útiles para el estudio de la existencia de puntos fijos de operadores no expansivos. En 1995 C.Benítez, K. Prezslawski y D. Yost definieron un módulo, llamado modulo de cuadratura, que caracteriza simultáneamente diferentes propiedades geométricas de los espacios normados (convexidad uniforme, suavidad uniforme, estructura normal, casi cuadratura, etc.). La ventaja que este módulo tiene sobre otros antes definidos como el modulo de suavidad uniforme, el módulo de Clarkson, etc .) es poder medir simultáneamente la suavidad y la convexidad del espacio en lugar de hacerlo independientemente. El módulo de cuadratura (al igual que la convexidad y suavidad uniforme) tiene un carácter finito-dimensional, esto es, sólo depende de los subespacios de dimensión finita del espacio considerado. Sin embargo, puesto que las anteriores propiedades geométricas tienen interesantes versiones de carácter infinito-dimensional que se conocen con el nombre de casi suavidad uniforme y casi convexidad uniforme) es natural planteares la existencia de un módulo que caracterice simultáneamente estas propiedades. El objetivo de la primera parte de la tesis es definir un nuevo módulo de carácter infinito-dimensional que sea adecuado para medir simultáneamente la casi convexidad y casi suavidad uniforme y hacer un profundo estudio de dicho módulo. En particular calculamos el valor de dicho módulo en algunos espacios clásicos, estudiamos algunas propiedades básicas (crecimiento, convexidad, continuidad respecto de su variable y respecto de la distancia de Banach-Mazur, etc.( y obtenemos algunos resultados de punto fijo para aplicaciones univaludadas no expansivas. En la segunda parte utilizamos este módulo, y algunos otros conocidos para obtener teoremas de punto fijo para aplicaciones multivaluadas no expansivas que dan algunas respuestas parciales al problema de extender el famoso Teorema de kirk. En particular probamos que los espacios uniformemente suaves tienen la propiedad del punto fijo para aplicaciones multivaluadas no expansivas (problema de ha permanecido abierto durante muchos años). Esos módulos permiten también obtener resultados de estabilidad de la propiedad del punto fijo para aplicaciones multivaluadas.