Subespacios invariantes comunes

Resumen

Dentro de la teoría de operadores, las líneas principales de investigación fluyen en torno al problema del subespacio invariante, Dado T un operador lineal y continuo en un espacio de Banach X, en general no se conoce si existe un subespacio cerrado F, no trivial tal que T(F) esté contenido en F. En caso de que exista F se dice que F es T-invariante. Si F es invariante bajo cualquier operador que conmuta con T, se dice que F es T-hiperinvariante. En dimensión finita, si x es un autovalor, el conjunto de autovectores asociados a x es un subespacio invariante. Es decir, en dimensión finita, el problema del subespacio invariante está relacionado con los autovectores de una matriz, concretamente, los subespacios invariantes vienen determinados por las cajas de Jordan de una matriz. Éste es pues el principal y ambicioso problema en teoría de operadores: conocer la estructura de los operadores en dimensión infinita. Ahora bien, al igual que ocurre en dimensión finita, conocer la estructura de un operador pasa en primer lugar por conocer sus subespacios invariantes. Sin embargo no se conoce la existencia de al menos uno no trivial en el espacio de Hilbert separable. El problema del subespacio invariante está vinculado con el estudio de órbitas. Dado T un operador lineal y continuo en un espacio de Banach X, se dice que un vector x es cíclico para T si las combinaciones lineales finitas de la órbita de x, que denotaremos por forman un conjunto denso en X. Con esta nueva terminología encontrar un subespacio cerrado e invariante no trivial consiste en encontrar un vector x no cíclico no nulo. Si X es no separable, entonces todo x de X es un vector no cíclico, y por tanto el problema del subespacio invariante tiene respuesta positiva. Los espacios donde trabajemos serán separables. P. Enflo en 1976, aunque no se publicó hasta 1987, construyó un ejemplo de operador continuo en un espacio de Banach separable sin subespacio cerrado e invariante no trivial. Por tanto, en espacios de Banach generales el problema está resuelto de manera negativa. Para operadores en el espacio de Hilbert separable, como mencionamos anteriormente, el problema sigue abierto. Dentro del problema del subespacio invariante queremos destacar una dirección que está relacionada con la investigación en torno a la cual giran los contenidos de esta memoria. Dada una N-tupla de operadores T=(T1,...,TN) lineales y continuos en un espacio de Banach X, se pretende conocer si poseen un subespacio cerrado e invariante no trivial común, esto es, si existe un subespacio vectorial cerrado F no trivial invariante por cada elemento de la N-tupla. Hemos dividido la memoria en cinco capítulos. El primer capítulo es un capítulo de preliminares en el que pretendemos que la memoria sea lo más autocontenida posible. En la primera sección, estudiamos los órdenes discretos respecto a los conos generados por una base de Schauder o una base de Markushevich, que se utiliza en el segundo capítulo. Las secciones segunda, tercera y cuarta están dedicadas al estudio elemental de los espacios de Riesz y en particular de los retículos de Banach que son necesarios para el desarrollo del tercer capítulo. En la sección quinta, introducimos el espectro de Harte de una N-tupla y vemos propiedades básicas que se usan en el capítulo cuarto. La sexta sección está dedicada a una breve introducción de los operadores de composición en el espacio de Hardy que serán objeto de estudio en el capítulo quinto. La séptima y última sección incluye algunos resultados elementales sobre subespacios invariantes que se utilizan de manera constante a lo largo de toda la memoria. En el capítulo segundo obtenemos condiciones espectrales suficientes para que una N-tupla de operadores positivos con respecto al cono generado por una base en un espacio de Banach X posea un subespacio cerrado e invariante no trivial común. En la primera sección introducimos la noción de cuasinilpotencia local conjunta y probamos que si el orden viene determinado por una base de Schauder, entonces dada una N-tupla de operadores positivos y cuasinilpotente local conjunta en un x>0, entonces dicha N-tupla posee un subespacio cerrado e invariante no trivial común. En la sección segunda vamos más allá y vemos que dicho resultado es también cierto cuando el orden viene determinado por el cono generado por alguna base de Markushevich. En el capítulo tercero encontramos condiciones de dominación para que una N-tupla de operadores positivos posea un subespacio cerrado e invariante no trivial común, donde la positividad vendrá determinada con respecto a un orden reticular en un retículo de Banach o con respecto al orden definido en un espacio de Sobolev. En la primera secci\acc on definimos la compacidad amigable conjunta y demostramos que una N-tupla de operadores positivos, cuasinilpotente local uniforme conjunta y amigablemente compacta conjunta en un retículo de Banach posee un ideal cerrado e invariante no trivial común. En la sección segunda profundizamos en las N-tuplas de operadores amigablemente compactos conjuntos en un espacio de Banach de funciones, y demostramos que un operador de multiplicaci\acc on en un espacio de Banach de funciones sin infinitos átomos, es amigablemente compacto conjunto si y sólo si cada multiplicador es constante en un conjunto de medida no nula común (esto es, si y sólo si posee una meseta común). En la sección tercera probamos resultados similares a los de la sección primera en un espacio de Sobolev. Para ello, reformulamos el concepto de amigablemente compacto conjunto para N-tuplas definidas en un espacio de Sobolev En el capítulo cuarto obtenemos un vector no supercíclico común y un cono cerrado e invariante no trivial común para N contracciones que conmutan en el espacio de Hilbert separable. En el último capítulo tratamos un tema relacionado con el problema del subespacio invariante para un operador T, se rompe un poco con la línea seguida en los capítulos anteriores. Damos condiciones espectrales suficientes para que un operador sea fuertemente compacto y para que su conmutante sea un álgebra fuertemente compacta. La noción de compacidad fuerte fue introducida por Lomonosov en un acercamiento al problema del subespacio invariante para operadores esencialmente normales en un espacio de Hilbert. Lomonosov prob\acc o que si T es un operador esencialmente normal en un espacio de Hilbert tal que ni el conmutante de T ni el conmutante de T* son álgebras fuertemente compactas, entonces T posee un subespacio cerrado e invariante no trivial.