Algunas aplicaciones de los modelos funcionales de operadores en espacios de Hilbert

Resumen

El objeto central de esta tesis es el estudio de los operadores X en espacios de Hilbert que verifican ecuaciones de la forma (1) X=T(x)XT(s)* donde {T(s): en S} es una representación contractiva de un semigrupo S, llamadas operadores de Toeplitz generalizados, y (2) AX=XB con X y X* inyectivos, que responden al problema de caracterizar cuándo A y B con casi-semejantes. En ambos casos las herramientas utilizadas son los modelos funcionales de operadores: la dilatación isométrica minimal del semigrupo en el caso (1) y el modelo funcional de Nikolski y Vasyunin en el caso (2). En el primer capítulo, dedicado a la ecuación (1), se prueban la existencia y unicidad de símbolos para operadores de Toeplitz generalizados, la equivalencia del planteamiento con aproximaciones alternativas formuladas por Muhly y Douglas en los años 70, la caracterización de la invertibilidad para operadores analíticos y la caracterización de cuándo los operadores de Toeplitz generalizados son operadores de Fredholm. Se incluyen ejemplos de operadores bien conocidos en la literatura, como los de Wiener-Hopf, que resultan ser operadores de Toeplitz generalizados y, finalmente, se muestra mediante un ejemplo la imposibilidad de extender la teoría correspondiente a operadores de Hankel generalizados para semigrupos de dimensión mayor que 1. En el segundo capítulo, dedicado a la ecuación (2), se prueban teoremas de caracterización de la casi-semejanza de contracciones cuyas funciones características son matrices de dimensión 1x2 o 2x2 singulares. Estas caracterizaciones se dan en término de la factorización en sus partes interior, exterior e isométricas de dichas matrices.