Enhancing robustness and sparsity via mathematical optimization

Resumen

Esta tesis se centra en derivar métodos robustos o dispersos bajo la perspectiva de la optimización para problemas que tradicionalmente se engloban en los campos de la Estadística o de la Investigación Operativa. Concretamente, el objetivo de esta tesis doctoral es fusionar técnicas de optimización con conceptos estadísticos para desarrollar metodologías innovadorass que puedan mejorar a los métodos ya existentes y que aúnen las matemáticas teóricas con los problemas de la vida real. Por una parte, los métodos robustos propuestos facilitarán un nuevo enfoque sobre el modelado y la interpretación de problemas clásicos del área de la Investigación Operativa, produciendo soluciones que sean resistentes a varios tipos de incertidumbre. Por otra parte, las estrategias dispersas desarrolladas para resolver problemas notorios del área de Estadística tendrán forma de Problemas No Lineales Mixtos (es decir, problemas de optimización con algunas variables enteras o binarias y función objetivo no lineal, denotados MINLP a partir de ahora). Se mostrará que los métodos propuestos no solamente son manejables computacionalmente, sino que además realzan la interpretabilidad y obtienen una buena calidad de predicción. Específicamente, el Capítulo 1 se centra en descubrir causalidades potenciales en series temporales multivariantes. Esto se lleva a cabo formulando el problema como un MINLP donde las restricciones modelan distintos aspectos de la dispersión, incluyendo restricciones que no permiten la aparición de relaciones espúreas en el modelo. El método muestra un buen rendimiento en términos de poder de predicción y de recuperación del modelo original. Análogamente, el objetivo del Capítulo 2 es descubrir cuáles son los predictores relevantes en un problema de regresión lineal, sin llevar a cabo tests de significación ya que éstos pueden fallar si existe multicolinealidad. Para ello, se formulan MINLPs que restringen los métodos de estimación seleccionados, añadiendo restricciones que miden la importancia de los predictores y que están diseñadas para evitar los problemas que produce la multicolinearidad en los datos. Los modelos restringidos muestran un buen equilibrio entre interpretabilidad y precisión. Por otra parte, en el Capítulo 3 se generaliza el problema clásico del vendedor de periódicos, asumiendo demandas correladas. En particular, una estrategia de inventario robusta, donde no se asumen hipótesis distribucionales sobre la demanda, se formula como un problema de optimización. Para el modelado de dicho problema se hace uso de técnicas que ligan conceptos estadísticos con conjuntos de incertidumbre. Las soluciones obtenidas son robustas ante la presencia de ruido con alta variabilidad en los datos, mientras evitan el exceso de conservadurismo. En el Capítulo 4 se extiende esta formulación para series temporales multivariantes. El escenario es, además, más complejo: no solamente se busca fijar los niveles de producción, sino que se quiere determinar la localización de instalaciones y la asignación de clientes a las mismas. Empíricamente se muestra que, para diseñar una cadena de suministros eficiente, es importante tener en cuenta la correlación y la variabilidad de los datos multivariantes, desarrollando técnicas basadas en los datos que hagan uso de métodos de predicción robustos. Un examen más exhaustivo de las características específicas del problema y de los conjuntos de incertidumbre se lleva a cabo en el Capítulo 5, donde se estudia el problema de selección de portfolios con costes de transacción. En este capítulo se obtienen resultados teóricos que relacionan los costes de transacción con diferentes maneras de protección ante la incertidumbre de los retornos. Como consecuencia, los resultados numéricos muestran que calibrar la penalización de los costes de transacción produce resultados que son resistentes a los errores de estimación.