Cálculo de invariantes combinatorios de semigrupos numéricos y aplicaciones.

Resumen

En esta tesis trata básicamente, de en primer lugar establecer una relación entre bases de Groebner y semigrupos numéricos y en segundo lugar utilizar dicha relación para obtener diversas aplicaciones y resultados. La memoria consta de tres capítulos y un apéndice con una pequeña sección final con conclusiones y algunos problemas abiertos de cara a futuros trabajos. En el primer capítulo, se establece una relación entre bases de Groebner y semigrupos numéricos, definida por una biyección, la cual se establece entre los elementos del semigrupo por una parte y con los ¿gaps¿, que son los enteros positivos que no están en el semigrupo, de forma paralela. Utilizamos a su vez, dicha biyección para intentar relacionar una serie de invariantes de semigrupos numéricos que aparecen en la famosa Conjetura de Wilf. Se obtienen como resultado dos cotas para n(S), el cardinal del conjunto de los elementos esporádicos que son los elementos del semigrupo más pequeños que el número de Frobenius. Dichas cotas son obtenidas utilizando dos procedimientos diferentes basados en las mismas técnicas. Las cotas resultantes quedan en función del número de Frobenius y de los generadores más pequeños del semigrupo. En el segundo capítulo, se da un algoritmo para hallar el conjunto de Apéry de un semigrupo numérico asociado a cualquiera de los generadores del semigrupo. Éste conjunto es de gran importancia en semigrupos numéricos ya que proporciona mucha información acerca del mismo. Para ello utilizamos las bases de Groebner definiendo para ello un orden de eliminación "ad hoc". En este capítulo, abordamos también la conjetura de Gorenstein que da una condición para la simetría de los semigrupos numérico. Utilizando esta conjetura, damos una condición sobre la simetría de semigrupos numéricos, utilizando para ello el algoritmo definido en este capítulo. Por último en el tercer capítulo, nos centramos en un problema clásico, el conteo de puntos encerrado por un triángulo rectángulo. El conteo de puntos en politopos de vértices enteros es un problema resuelto, pero en este capítulo trataremos el conteo de puntos en un triángulo rectángulo de vértices racionales. Se da de hecho como resultado una fórmula cerrada para la obtención del número de dichos puntos, y una generalización a dimensiones superiores. Esta fórmula es simple y manejable, muy alejada de lo que hasta ahora se conoce para realizar este conteo en triángulos de vértices racionales. Al final de la memoria, se plantea una seria de problemas abiertos, que serán interesantes de cara a futuras investigaciones. Entre otros problemas, se plantea, el dar términos explícitos del quasi-polinomio de Ehrhart utilizando la fórmula hallada en el tercer capítulo. En el apéndice el lector puede encontrar resultados básicos y definiciones sobre las bases de Groebner, que serán utilizadas a lo largo de la memoria.